Linear Matrix Inequalities for Systems and Control
Organizational Info (Winter term 2024/25)
| Lectures | Exercises | |
|---|---|---|
| Start | 14.10.2024 | 16.10.2024 |
| Time | Mondays, 14:15 to 15:45 | Wednesdays, 14:15 to 15:45 |
| Room | MB E23/E24 | MB E23/E24 |
| Lecturers / Tutors | Moritz Schulze Darup | |
| Moodle | Link to the course | |
| Language | English (or German depending on audience) | |
Content (according to module description)
Many challenges in control engineering can be efficiently handled and solved using linear matrix inequalities (LMIs). Examples include stability analysis, robust controller design, or constrained handling. For instance, Lyapunov inequalities ensuring stability can be easily formulated as LMIs. In general, LMIs provide a mathematical framework to express constraints on decision variables using linear combinations of symmetric matrices. If constrained to the set of positive (or negative) (semi-) definite matrices, a convex constraint on the decision variables results. Solving such LMIs then leads to a so-called semi-definite program (SDP), which is a convex optimization problem and can hence be efficiently solved using appropriate software.
Againts this background, the course covers the followings topics:
- Introduction to LMIs and SDPs.
- Lyapunov stability for linear systems via LMIs.
- The bounded real lemma and its relation to the existence of a stabilizing controller and the feasibility of a certain LMI.
- The design of robust H2 and H-infinity controllers.
- Flexible pole placement using LMIs.
- The design of general linear dynamic controllers and the separation principle.
- The numerical solution of LMIs and SPDs using Matlab and Yalmip.
Viele Herausforderungen in der Regelungstechnik lassen sich mit linearen Matrixungleichungen (LMIs) effizient behandeln und lösen. Beispiele hierfür sind die Stabilitätsanalyse, der Entwurf robuster Regler oder die Handhabung von Beschränkungen. Lyapunov-Ungleichungen, die Stabilität gewährleisten, lassen sich beispielsweise leicht als LMIs formulieren. Im Allgemeinen bieten LMIs einen mathematischen Ansatz, um Restriktionen an Entscheidungsvariablen durch Linearkombinationen symmetrischer Matrizen auszudrücken. Beschränkt man sich auf die Menge der positiven (oder negativen) (semi-) definitiven Matrizen, so ergibt sich eine konvexe Beschränkung der Entscheidungsvariablen. Die Lösung solcher LMIs führt dann zu einem so genannten semi-definiten Programm (SDP), das ein konvexes Optimierungsproblem darstellt und daher mit geeigneter Software effizient gelöst werden kann.
Vor diesem Hintergrund behandelt der Kurs die folgenden Themen:
- Einführung in LMIs und SDPs.
- Lyapunov-Stabilität für lineare Systeme über LMIs.
- Das Bounded Real Lemma und seine Beziehung zur Existenz eines stabilisierenden Reglers und der Lösbarkeit einer bestimmten LMI.
- Der Entwurf von robusten H2 und H-unendlich Reglern.
- Flexible Polplatzierung mithilfe von LMIs.
- Der Entwurf von linearen dynamischen Reglern und das Separationssprinzip.
- Die numerische Lösung von LMIs und SPDs mittels Matlab und Yalmip.
Literature
Stephen Boyd, Laurent El Ghaoui, Eric Feron, and Venkataramanan Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1994.